Hoe het interval van convergentie te vinden
Hoe het interval van convergentie te vinden
De vermogensreeks is een speciaal geval van een functioneelserie waarvan de termen machtsfuncties zijn. Hun brede verspreiding is te danken aan het feit dat, wanneer aan een aantal voorwaarden wordt voldaan, ze convergeren naar bepaalde functies en het meest geschikte analytische hulpmiddel zijn voor hun presentatie.
instructie
1
De vermogensreeks is een speciaal gevalfunctionele reeks. Het heeft de vorm 0 + c1 (z-z0) + c2 (z-z0) ^ 2 + ... + cn (z-z0) ^ n + .... (1) Als we de substitutie x = z-z0 maken, heeft deze reeks de vorm c0 + c1x + c2x ^ 2 + ... + cn (x ^ n) + .... (2)
2
In dit geval zijn reeksen van de vorm (2) handiger om te overwegen. Het is duidelijk dat elke vermogensreeks convergeert voor x = 0. De reeks punten waarop de reeks convergent is (domein convergentie) kan worden gevonden op basis van de stelling van Abel. Hieruit volgt dat als de reeks (2) convergent is op een punt x0 ≠ 0, deze convergeert voor alle x die voldoet aan de ongelijkheid | x |
3
Dienovereenkomstig, als op enig moment x1 de reeksdivergeert, dan wordt dit waargenomen voor alle x waarvoor | x1 |> | b |. Figuur 1, waarbij x1 en x0 als groot worden gekozen, laat ons begrijpen dat alle x1> x0. Daarom zullen, wanneer ze elkaar naderen, de situatie x0 = x1 onvermijdelijk ontstaan. In dit geval verandert de situatie met convergentie bij het passeren van de samengevoegde punten (laten we ze -R en R noemen) abrupt. Aangezien R een geometrische lengte heeft, wordt het getal R> 0 de straal van convergentie van de vermogensreeks (2) genoemd. interval (-R, R) wordt het interval van convergentie van de vermogensreeks genoemd. Het is mogelijk en R = + ∞. Voor x = ± R wordt de reeks numeriek en wordt de analyse uitgevoerd op basis van informatie over numerieke reeksen.
4
Om R te bepalen, wordt de reeks onderzocht op absoluutconvergentie. Dat wil zeggen, een reeks absolute waarden van de termen van de originele reeks wordt gecompileerd. Studies kunnen worden uitgevoerd op basis van de tekenen van d'Alembert en Cauchy. Bij toepassing ervan worden limieten gevonden die worden vergeleken met eenheid. Daarom wordt de grens gelijk aan één bereikt bij x = R. Bij het oplossen op basis van d'Alembert, wordt de limiet in Fig. 2a. Het positieve getal x waarbij deze limiet gelijk is aan één, is de straal R (zie figuur 2b). In de studie van de reeks door het radicale Cauchy-criterium, heeft de formule voor het berekenen van R de vorm (zie figuur 2c).
5
De formules getoond in Fig. 2 worden toegepast op voorwaarde dat de betreffende limieten bestaan. Voor de vermogensreeks (1) wordt het interval van convergentie geschreven in de vorm (z0-R, z0 + R).
