Tip 1: Hoe vind je het integraal
Tip 1: Hoe vind je het integraal
Het concept van integraal is direct gerelateerd aan het concept van een antiderivatieve functie. Met andere woorden, om het integraal van de aangegeven functie te vinden, is het nodig om een functie te vinden ten aanzien waarvan het origineel een afgeleide is.
instructie
1
Integraal verwijst naar de begrippen wiskundigeanalyse en grafisch representeert het gebied van de kromme lijntetrapezie, begrensd op de abscisse door de beperkende punten van integratie. Het vinden van de integraal van een functie is veel moeilijker dan het vinden van zijn afgeleide.
2
Er zijn verschillende methoden voor het berekenen van de onzekerheid integraal: directe integratie, introductie onder het teken van het differentiaal, substitutiemethode, integratie door delen, Weierstrass-substitutie, Newton-Leibniz-stelling, enz.
3
Directe integratie omvat reductie met behulp van eenvoudige transformaties van het origineel integraal naar de tafelwaarde. Bijvoorbeeld: ∫dy / (sin²y · cos²y) = ∫ (cos²y sin²y +) / (sin²y · cos²y) dy = ∫dy / sin²y + ∫dy / cos²y = -ctgy tgy + + C.
4
De wijze van invoering onder het teken van het differentieel of vervangingvariabele is de verklaring van een nieuwe variabele. In dit geval wordt de oorspronkelijke integraal gereduceerd tot de nieuwe integrale, die kan worden omgezet in een tabelweergave door directe integratie: Er zij integraal ∫f (y) dy = F (y) + C en een variabele v = g (y), dan: ∫f ( y) dy -> ∫f (v) dv = F (v) + C.
5
Moet enkele eenvoudige substitutie herinner het werken met deze werkwijze te vergemakkelijken: DY = d (y + b); ydy = 1/2 · d (y² + b) sinydy = - d (comfortabel); cosydy = d (siny).
6
Voorbeeld: ∫dy / (1 + 4 · y²) = ∫dy / (1 + (2 · y) ²) = [dy -> d (2 · y)] = 1/2 · ∫d (2 · y) / (1 + (2 · y) ²) = 1/2 · arctg2 · y + C.
7
Integratie door delen gebeurt volgens de volgende formule: ∫udv = u · v - ∫vdu Voorbeeld: ∫y · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) - ∫ (-cosy) dy = -y · cosy + siny + C.
8
Een definitieve integraal in de meeste gevallenwordt gevonden door de Newton-Leibniz-stelling: ∫f (y) dy op het interval [a; b] is F (b) -F (a). Voorbeeld: Zoek ∫y · sinydy op het interval [0; 2π]: ∫y · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) - ∫ (-cosy) dy = (-2π · cos2π + sin2π) - (-0 · cos0 + sin0) = -2π.
Tip 2: Hoe de integraal van een functie berekenen
integraal de calculus is onderdeel van de wiskundigeanalyse, waarvan de basisbegrippen de primitieve functie en integraal zijn, zijn eigenschappen en berekeningsmethoden. De geometrische betekenis van deze berekeningen is het gebied van het kromlijnige trapezium dat begrensd wordt door de grenzen van integratie.
instructie
1
In de regel vermindert de berekening van het integraal het integreren naar een tabelvorm. Er zijn veel tafelintegralen die de oplossing van dergelijke problemen vergemakkelijken.
2
Er zijn verschillende manieren om de integraal in een handige vorm te brengen: directe integratie, integratie door delen, substitutiemethode, inleiding onder het teken van het differentieel, vervanging door Weierstrass, etc.
3
De directe integratiemethode issequentiële reductie van de integraal in de tabelvorm door middel van elementaire transformaties: ∫ coss² (x / 2) dx = 1/2 • ∫ (1 + cos x) dx = 1/2 • ∫dx + 1/2 • ∫cos xdx = 1 / 2 • (x + sin x) + C, waarbij C een constante is.
4
De integraal heeft een aantal mogelijke waardenvoortkomend uit het eigendom van het antiderivaat, namelijk het bestaan van een sommeerbare constante. De oplossing in het voorbeeld is dus algemeen. Een specifieke oplossing van de integraal is een gemeenschappelijke constante voor een bepaalde waarde, bijvoorbeeld C = 0.
5
Integratie door delen wordt gebruikt wanneer de integrand een product is van algebraïsche en transcendentale functies. De formule van de methode is ∫udv = u • v - ∫vdu.
6
Aangezien de posities van de factoren in het product er niet toe doen, dan als functies u het is beter om dat deel van de uitdrukking te kiezen, dat na vereenvoudiging wordt vereenvoudigd. Voorbeeld: ∫x · ln xdx = [u = ln x; v = x; dv = xdx] = x² / 2 · ln x - ∫x² / 2 · dx / x = x² / 2 · ln x - x² / 4 + C.
7
De introductie van een nieuwe variabele is de ontvangst van een methodesubstitutie. In dit geval verandert de integrand zelf en zijn argument: ∫x · √ (x - 2) dx = [t = x-2 → x = t² + 2 → dx = 2 · tdt] = ∫ (t² + 2) · t · 2 · tdt = ∫ (2 · t ^ 4 + 4 · t²) dt = 2 · t ^ 5/5 + 4 · t³ / 3 + C = [x = t² + 2] = 2/5 · (x - 2) ^ (5/2) + 4/3 · (x - 2) ^ (3/2) + C.
8
De methode van introductie onder het teken van het differentieelgaat om het verplaatsen naar een nieuwe functie. Laat ∫f (x) = F (x) + C en u = g (x), dan ∫f (u) du = F (u) + C [g '(x) = dg (x)]. Voorbeeld: ∫ (2 · x + 3) ²dx = [dx = 1/2 · d (2 · x + 3)] = 1/2 · ∫ (2 · x + 3) ²d (2 · x + 3) = 1/6 · (2 · x + 3) ³ + C.
